Can/could, be able to (posibility/ability)

In english
Can/could
Can and could are modal auxiliary verbs. Be able to is not an auxiliary verb (it uses the verb be as a main verb).
We use can/could when we will talk about possibility and ability, make requests and ask for permission.
Example: I can speak English very well.
               They couldn't wait because they were in a hurry.
               She could play the guitar when she was three.
               He can't come tonight. She's ill.
               Could you open the window?


Be able to 
Be able to + verb in infinitive

We use be able to when we can't use can or could.
Example: I am able to go to your birthday.
               He has been able to speak English since he was a child.
               They weren't able to go.
               I love being able to do exercice at weekends.
               I would like to be able to do parachuting.

En castellano
Can/could
Can y could son verbos modales auxiliares. Be able to no es un verbo modal auxiliar sino que usa el verbo be (ser) como el mismo verbo.
Nosotros usamos can/could cuando queremos hablar de posibilidad/habilidad, hacer peticiones o pedir permiso.
Usamos can en presente afirmativo (can) negativo (can't), pasado afirmativo (could) negativo (couldn't) y en condicional positivo (could) negativo (couldn't).
Ejemplo: Yo puedo hablar inglés muy bien.
               Ellos no pueden esperar porque tienen prisa.
               Ella podía tocar la guitarra cuando tenía tres años.
               Él no puede venir esta noche. Está malo.
               Puedes abrir la ventana?

Be able to 
Be able to + verbo en infinitivo

Nosotros usamos be able to cuando no podemos usar can o could en una frase.
Ejemplo: Puedo ir a tu cumpleaños.
              El podía hablar inglés desde que era un niño.
              Ellos no pudieron ir.
              Me encanta poder hacer ejercicio los fines de semana.
              Me gustaría poder hacer paracaidismo.